Propriété caractéristique de la moyenne

Nous montrons ci-dessous que la moyenne est la valeur x la plus proche des observations x_i, i=1, …, n lorsque le critère choisi est la somme des carrés des différences entre x et les observations. On montre en même temps une propriété classique de la moyenne.

On considère la fonction d_x² qui mesure la distance entre une valeur x et la suite des observations (x_i)i = 1, …, n.

						n
dx^2	=	f(x)	=	[ x – x1 ]^2 + [ x – x2 ]^2 + [ x – x3 ]^2 + ...	=	å	[ x – xi ]^2
						i = 1

Cette fonction est définie, continue et dérivable pour tout x. Sa dérivée est égale à :

					n
f’(x)	=	2 [ x – x1 ] + 2 [ x – x2 ] + 2 [ x – x3 ] + ...	=	2 n x – 2	å	xi
					i = 1
					1	n
			=	2 n [ x –	–––	å	xi
					n	i = 1

On obtient :

f’(x) = 2 n [ x – m ]

La dérivée f’(x) est nulle pour x = m. On a le tableau de variation ci-dessous :

Le tableau de variation montre que la fonction passe par un minimum en x = m.

Une autre façon de montrer cette propriété est d’exprimer f(x) en fonction de f(m) :

f(x)	=	[ x – x1 ]^2 + [ x – x2 ]^2 + [ x – x3 ]^2 + ...
	=	x^2 – 2 x x1 + x1^2 + x^2 – 2 x x2 + x2^2 + x^2 – 2 x x3 + x3^2 + ...

On a de la même façon :

f(m)

=

m^2 – 2 m x1 + x1^2 + x^2 – 2 m x2 + x2^2 + x^2 – 2 m x3 + x3^2 + ...

Calculons f(x) – f(m) en ordonnant les sommes :

f(x) – f(m)	=	x^2 – 2 x x1 + x1^2 – ( m^2 – 2 m x1 + x1^2)
	+	x^2 – 2 x x2 + x2^2 – ( m^2 – 2 m x2 + x2^2)
	+	x^2 – 2 x x3 + x3^2 – ( m^2 – 2 m x3 + x3^2)
	+	.......

Tous les termes de la forme x_i² s’annulent ; il reste, en mettant 2 x et 2 m en facteurs :

f(x) – f(m)

=

n x^2 – n m^2 – 2 x ( x1 + x2 + x3 + ...) + 2 m ( x1 + x2 + x3 + ...)

On a, par définition de m : ( x₁ + x₂ + x₃ + ...) = n m . On en déduit : :

f(x) – f(m)	=	n x^2 – n m^2 – 2 n x m + 2 n m^2
f(x) – f(m)	=	n ( x^2 – 2 x m + m^2)
f(x) – f(m)	=	n ( x – m )^2

Il est clair que f(x) est minimum pour x = m. On obtient la formule classique :

1	n			1	n
–––	å	[xi – x]^2	=	–––	å	[xi – m ]^2	+	( x – m )^2
n	i = 1			n	i = 1